Предмет нарисної геометрії. Види проєктування. Проєктування точки.

1.1. МЕТОДИ ПРОЕКЦІЮВАННЯ. ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ.

Нарисна геометрія вивчає:

• методи зображення тривимірних об'єктів на площині;

• способи, за допомогою яких розв'язок просторових (стереометричних) задач, можна звести до розв'язку цих задач на площині (планіметричних).

Лише методи і способи нарисної геометрії дозволяють розв'язувати просторові задачі графічно. Інші способи їх розв'язку - обчислювальні (аналітичні). Тому нарисна геометрія, як наука, має важливе прикладне значення. До основних задач, які вона дозволяє розв'язувати можна віднести:

• побудову плоских зображень (креслень) різноманітних тривимірних об'єктів;

• відтворення тривимірних об'єктів за їх плоскими зображеннями (читання креслення);

• дослідження геометричних властивостей (форми, розмірів, взаємного розташування у просторі) об'єктів за їх плоскими зображеннями;

• розв'язок просторових задач графічними методами;

• розв'язок загальноосвітніх задач за допомогою використання методів нарисної геометрії як засобу пізнання світу;

• розвиток просторового (творчого) мислення.

Задачі нарисної геометрії можна поділити на дві групи. Перша група - позиційні задачі. Це задачі, в яких необхідно визначити положення об'єкта у просторі. Друга група - метричні задачі. Це задачі, в яких досліджується метрика об'єкта, виконуються виміри відрізків, кутів, площ плоских фігур, тощо.

1.1.МЕТОДИ ПРОЕКЦІЮВАННЯ. ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ

Зображення об'єкта на площині, побудоване у відповідності до законів геометричної оптики, які об'єктивно діють у реальному світі, називають його проекцією на цю площину.

Для побудови зображень в нарисній геометрії використовують метод проекцій.

Існує два основні методи проеціювання: центральне проекціювання і паралельне проекціювання.

1.1.1.Метод центрального проекціювання

В символічному записі операція центрального проекціювання має вигляд:

1) a = A c S; 2) A_п = a х П;

3) b = B c S; 4) B_п = b х П, тощо.

Проекціюючі промені, що виходять з центра проекціювання S, утворюють у просторі проекціюючу конічну поверхню. Тому цей метод проекціювання називають ще конічним або полярним, оскільки центр проекціювання точку S називають полюсом.

Проекція A_пB_пC_пD_п кривої ABCD є лінією перетину (слідом) проекціюючої конічної поверхні з площиною проекцій П.

Отримана проекція не є точною копією об'єкта проекціювання. Тобто, при центральному проекціюванні відбувається перетворення об'єкта проекціювання в його плоске зображення з деякою зміною його форми і розмірів. Таке перетворення називають перспективним (або перспективою). Разом з тим нескладно побачити, що при такому перетворенні деякі властивості об'єкта проекціювання зберігаються, а саме:

• зображення точки є точкою;

• зображення прямої в загальному випадку є прямою (проекція проеціюючої прямої вироджується у точку перетину цієї прямої з площиною проекцій);

• точка перетину прямих є точкою перетину їх проекцій;

• якщо точка належить до якої-небудь прямої (кривої), то і проекції цієї точки належать проекціям тієї ж прямої (кривої), тощо.

Тобто між об'єктом проекціювання і його зображенням існують відповідні зв'язки, які дозволяють досліджуючи зображення, робити висновки про геометричні властивості об'єкта проекціювання.

Але на малюнку видно, що отримана проекція, є спотвореним зображенням, що не відповідає розміру цієї лінії у просторі. Тому цей вид проекціювання не використовують для побудови технічних креслень об'єктів, які супроводжуються нанесенням розмірів.

На зображеннях, отриманих методом центрального проекціювання, кожній точці простору відповідає її єдина проекція. Але проекції точки відповідає множина точок простору, які розташовані на одному проеціюючому промені. Тому можна зробити висновок, що центральна проекція об'єкта є зображенням неповним, по якому неможливо відновити форму об'єкта у просторі.

1.1.2. Метод паралельного проекціювання

В символічному записі операція паралельного проекціювання має вигляд:

1) a 0 A; a || ŝ; 2) A_п = a х П;

3) b 0 B; b || ŝ; 4) B_п = b х П, тощо.

Оскільки при цьому методі проекціювання проекціюючі промені створюють у просторі циліндричну поверхню, то такі проекції ще називають циліндричними.

Проекція A_пB_пC_пD_п кривої ABCD є лінією перетину (слідом) проекціюючої циліндричної поверхні з площиною проекцій П.

Залежно від кута нахилу напрямку проеціювання ŝ₁ по відношенню до площини проекцій П, розрізняють косокутне паралельне проекціювання (кут нахилу не дорівнює 90^о) та прямокутне (ортогональне) паралельне проекціювання (кут нахилу 90^о). В загальному випадку об'єкти проекціюються на площину проекцій спотворено. При фіксованому положенні площини проекцій характер спотворення залежить від положення об'єкта відносно площини проекцій та напрямку проекціювання. При паралельному проекціюванні зберігаються ті ж властивості, що і при центральному. Перевагою паралельного проекціювання перед центральним є те, що паралельне проекціювання має ще деякі присутні лише йому властивості. Вони наступні:

• проекції двох паралельних прямих паралельні між собою;

• відношення відрізків однієї і тієї ж прямої дорівнює відношенню проекцій цих двох відрізків;

• відношення відрізків паралельних прямих дорівнює відношенню проекцій цих відрізків.

Ортогональне проекціювання має переваги перед центральним та косокутнім паралельним проекціюванням в тому, що геометричні побудови при цьому виді проекціювання простіші, а при деяких умовах ортогональні проекції не спотворюються і зберігають форму та розміри оригіналу. Вказані переваги обумовили переважне використання цього виду проекціювання при побудові технічних креслень об'єктів, які супроводжуються нанесенням розмірів.

При паралельному проекціюванні кожній точці простору на площині проекцій відповідає її єдина проекція. Наприклад, точці А відповідає її проекція Ап. Але проекції Ап може відповідати безліч точок простору А', А'', тощо. Робимо висновок, що при паралельному проекціюванні, як і при центральному, одна проекція точки є зображенням неповним, що не дозволяє відтворити цю точку у просторі.

1.1.3. Способи відтворення проекційного зображення при паралельному проеціюванні

Зображення має практичну цінність, якщо за ним можна визначати дійсні розміри форми об'єкта проекціювання, тобто взаємне розташування в просторі всіх точок, які його утворюють. Таке зображення називають відтворюваним. Які ж умови необхідні, щоб зображення було відтворюваним? Ці умови можуть бути створені різними способами. З існуючих способів побудови відтворюваних зображень розглянемо лише ті, які найбільше поширені в інженерній графіці.

Крім двох мінімально необхідних площин проекцій для отримання відтворюваного проекційного зображення можна проекціювати об'єкти і на більшу кількість площин і отримувати зображення на трьох, чотирьох і більше площинах.

1.1.4. Проекціювання точки на три взаємно перпендикулярні площини проекцій

1.1.6. Задання проекцій точок за допомогою координат

Для чисельного задання на епюрі (кресленні) положення проекцій точок в нарисній геометрії використовують той самий метод координат, що і в аналітичній геометрії. Він полягає в наступному. Положення точки, як і будь-якого об'єкта, в просторі можна визначити, якщо віднести її до деякої координатної системи. Наприклад, такої, що складається з трьох взаємно перпендикулярних координатних площин. Тоді положення точки визначається відстанями від координатних площин. Ці відстані дорівнюють координатним відрізкам, які можуть бути відкладені на відповідних осях координат. В такому випадку точка в просторі задається трьома координатами А (x,y,z).

Координатами точки називають числа, які відображають величину відповідних координатних відрізків в деяких одиницях вимірювання довжин.

Якщо сумістити таку координатну систему з системою ортогональних площин проекцій, то не лише саму точку, але і її проекції можна задавати відповідними значеннями координат. Горизонтальна проекція точки А - А₁ характеризується координатами x,y, фронтальна А₂ - x,z, профільна А₃ - y,z. Відповідно маємо ще одне підтвердження, що будь-які дві ортогональні проекції точки визначають її положення у просторі: А(А₁,А₂), А(А₂,А₃), А(А₁,А₃), тому що вони мають інформацію про три її координати. Наприклад, А(А₁,А₂) → А₁(x,y),А₂(x,z).

Слід звернути увагу на те, що при розвороті площин проекцій в процесі побудови комплексного креслення осі ox і oz не змінили свого положення, а вісь oy роздвоїлась на oy₁ та oy₃, оскільки вона одночасно належить як площині проекцій П₁, так і П₃. З цього спостереження слід зробити важливий висновок, що при побудові проекцій точок за заданими значеннями координат, значення координати y відкладають від точки О як вниз вздовж осі oy₁, так і праворуч вздовж осі oy₃.

1.1.7. Побудова третьої проекції точки за двома її заданими проекціями

Попередньо було показано, що дві проекції точки визначають її положення у просторі. Тобто, якщо задано дві проекції точки, то за ними можуть бути визначені всі її координати. Кожна проекція точки задається двома координатами. Тому для побудови третьої проекції точки слід :

• виміряти на комплексному кресленні необхідну пару координат, користуючись двома заданими проекціями точки;

• відкласти одержані координати у відповідній площині проекцій і, виконавши необхідні графічні побудови, знайти третю проекцію точки.

1.1.8. Робота з комплексним кресленням

Як зазначалось вище, основними задачами нарисної геометрії є побудова та читання креслення. Комплексне креслення точки містить всю необхідну інформацію для визначення її положення в системі площин проекцій. За комплексним кресленням можна визначити координати точки, її відстань від площин та осей проекцій, інші задачі.

Спочатку навчимось будувати комплексне креслення точки за заданими значеннями її координат.

Аналогічно виконується зворотня задача, коли точка задана проекціями і необхідно виміряти значення її координат. Користуючись тією ж послідовністю спочатку вимірюємо координату х, потім у і z.

Навчимось за комплексним кресленням вимірювати відстані точки від площин і осей проекцій.

1.1.9. Побудова комплексного креслення точок, по-різному розташованих відносно площин проекцій.

1.1.10. Конкуруючі точки

Розглянемо взаємне положення двох точок в системі площин проекцій. Існують особливі випадки розташування двох точок. Наприклад, точки, які знаходяться на одному проекціюючому промені. Такі точки називають конкуруючими. На одній з площин проекцій проекції цих точок співпадають, на інших - ні. Ці пари точок мають дві однакові координати.

Рекомендуємо побудувати комплексне креслення двох точок, розташованих на одному профільно-проекціюючому промені самостійно.

Конкуруючі точки використовують для визначення видимості проекцій окремих геометричних елементів об'єктів на комплексному кресленні.

Якщо дві точки розташовані не на одному проеціюючому промені, то всі їх координати різні, проекції не співпадають. В цьому випадку одна точка по відношенню до іншої може бути розташована одночасно і над, і перед, тощо.